Quantas pessoas compartilham o mesmo aniversário que você? Por muitos anos, eu não conhecia ninguém que compartilhasse o meu aniversário, mas, conforme meu círculo de conhecidos cresceu, aumentou também a probabilidade de que pelo menos algumas dessas pessoas tivessem a mesma data de nascimento. Agora, conheço pelo menos outras cinco pessoas que fazem aniversário no mesmo dia que eu, durante o verão. Qual é a probabilidade disso?
Como Funciona o Paradoxo do Aniversário?
A resposta está no paradoxo do aniversário: qual o tamanho necessário de um grupo aleatório de pessoas para que haja 50% de chance de que pelo menos duas delas compartilhem o mesmo aniversário?
Pense em uma sala de aula com alunos, por exemplo. Imagine que há 30 crianças na classe e 365 possíveis datas de aniversário em um ano. À primeira vista, a probabilidade de duas crianças compartilharem o mesmo aniversário parece baixa, certo? Afinal, com apenas 30 crianças e 365 dias no ano, parece improvável que duas tenham a mesma data. Mas será que é assim mesmo?
Então, qual o tamanho necessário de um grupo aleatório para que duas pessoas compartilhem o mesmo aniversário? Muitos podem chutar 182, que é aproximadamente metade do número de dias em um ano. Mas 182 é a resposta correta?
Não exatamente. O paradoxo do aniversário envolve probabilidades exponenciais, que podem ser contra-intuitivas.
As Probabilidades do Paradoxo do Aniversário São Exponenciais
“O mais importante é que as pessoas subestimam significativamente a rapidez com que a probabilidade aumenta conforme o grupo cresce. O número de pares possíveis cresce exponencialmente com o tamanho do grupo. E os humanos não são bons em entender crescimento exponencial”, explicou Jim Frost, especialista em estatísticas.
Muitas vezes, temos dificuldade em compreender probabilidades, especialmente quando elas desafiam nossa intuição, como no caso do paradoxo do aniversário.
“Eu adoro esses tipos de problemas porque eles mostram como os humanos geralmente não são bons com probabilidades, o que pode levar a decisões erradas ou conclusões incorretas”, disse Frost.
Para entender a probabilidade de duas pessoas compartilharem o mesmo aniversário em um grupo, precisamos fazer as contas—começando com um processo de eliminação.
Em um grupo de duas pessoas, a chance de uma compartilhar o aniversário com a outra é de 364 em 365 dias, o que representa uma probabilidade de cerca de 0,27%. Adicionando uma terceira pessoa, a chance aumenta para 363 em 365 dias, ou aproximadamente 0,82%.
A Resposta do Paradoxo do Aniversário
Como você pode imaginar—e corretamente—quanto maior o grupo, maior a probabilidade de duas pessoas compartilharem o mesmo aniversário. Então, qual é a resposta para o paradoxo do aniversário? Se continuarmos os cálculos, descobrimos que, em um grupo de 23 pessoas, há cerca de 50% de chance de que duas delas compartilhem o mesmo aniversário.
Por que 23 parece tão contra-intuitivo? Tudo se resume aos expoentes. Nosso cérebro frequentemente não leva em conta o poder composto dos expoentes ao fazer cálculos mentais. Tendemos a pensar em probabilidades de forma linear, mas isso está longe de ser preciso.
Em uma sala com 23 pessoas, se você comparar seu aniversário com o das outras 22 pessoas, isso resultará em 22 comparações. Mas, se você comparar todos os 23 aniversários entre si, o número de comparações aumenta consideravelmente. Como? A primeira pessoa faz 22 comparações, a segunda pessoa já foi comparada com a primeira, então ela faz 21 comparações, a terceira pessoa faz 20, e assim por diante. Se você somar todas as comparações possíveis, o total será de 253 pares únicos. Isso significa que, em um grupo de 23 pessoas, há 253 chances de duas delas compartilharem o mesmo aniversário.
Aqui está outro exemplo de crescimento exponencial, semelhante ao paradoxo do aniversário: “Suponha que você receba a proposta de ganhar 1 centavo no primeiro dia, 2 centavos no segundo dia, 4 centavos no terceiro, 8 centavos, 16 centavos, e assim por diante, durante 30 dias”, disse Frost. “Isso é um bom negócio? A maioria das pessoas acha que não, mas, graças ao crescimento exponencial, você terminaria com R$ 10,7 milhões no 30º dia.”
Problemas como esses “mostram como a matemática pode ser útil para melhorar nossa compreensão do mundo”, disse Frost. “Portanto, embora os resultados possam parecer contra-intuitivos, eles não são apenas divertidos—também têm um propósito.”
Da próxima vez que você estiver em um grupo de 23 pessoas, pode ter certeza de que há 50% de chance de duas delas compartilharem o mesmo aniversário.
