Aqui vai um desafio: Peça a um amigo para escolher um número e você devolverá um maior. Basta acrescentar “1” ao número que ele escolher e você certamente sairá vitorioso.
A razão para isso é que os números são infinitos. Não há um número máximo. Mas por quê? Como professor de matemática, posso ajudar a encontrar uma resposta.
Primeiramente, é preciso entender o que são os números e de onde vêm. Você aprendeu sobre números porque eles permitiam que você contasse. Os primeiros humanos tinham necessidades semelhantes – seja para contar animais abatidos em uma caçada ou para acompanhar quantos dias haviam passado. Foi por isso que eles inventaram os números.
Porém, naquela época, os números eram bastante limitados e tinham uma forma muito simples. Muitas vezes, os “números” eram apenas entalhes em um osso, indo até um máximo de algumas centenas.
Com o passar do tempo, as necessidades das pessoas cresceram. Rebanhos de gado tinham que ser contados, bens e serviços eram negociados, e medidas eram feitas para construções e navegação. Isso levou à invenção de números maiores e melhores maneiras de representá-los.
Há cerca de 5.000 anos, os egípcios começaram a usar símbolos para representar diferentes números, com um símbolo final para um milhão. Como geralmente não se deparavam com quantidades maiores, eles também usavam esse mesmo símbolo final para representar “muitos”.
Os gregos, liderados por Pitágoras, foram os primeiros a estudar números por seu próprio mérito, em vez de apenas como ferramentas de contagem. Como alguém que escreveu um livro sobre a importância dos números, não posso enfatizar o suficiente a importância desse passo para a humanidade.
Por volta de 500 a.C., Pitágoras e seus seguidores perceberam não apenas que os números de contagem – 1, 2, 3 e assim por diante – eram infinitos, mas também que podiam ser usados para explicar coisas interessantes, como os sons produzidos ao plugar uma corda esticada.
No entanto, havia um problema. Embora os gregos pudessem pensar mentalmente em números muito grandes, tinham dificuldade em escrevê-los. Isso se devia ao fato de eles não conhecerem o número 0.
Pense na importância do zero na expressão de números grandes. Você pode começar com 1 e, em seguida, adicionar mais e mais zeros no final para obter rapidamente números como um milhão – 1.000.000, ou 1 seguido de seis zeros – ou um bilhão, com nove zeros, ou um trilhão, com 12 zeros.
Somente por volta de 1200 d.C., o zero, inventado séculos antes na Índia, chegou à Europa. Isso levou à maneira como escrevemos os números hoje.
Essa breve história deixa claro que os números foram desenvolvidos ao longo de milhares de anos. E embora os egípcios não tivessem muito uso para um milhão, nós certamente temos. Os economistas lhe dirão que os gastos do governo são comumente medidos em milhões de dólares.
Além disso, a ciência nos levou a um ponto em que precisamos de números ainda maiores. Por exemplo, há cerca de 100 bilhões de estrelas em nossa galáxia – ou 100.000.000.000 – e o número de átomos em nosso universo pode ser tão alto quanto 1 seguido por 82 zeros.
Não se preocupe se achar difícil imaginar números tão grandes. Está tudo bem pensá-los como “muitos”, assim como os egípcios tratavam os números acima de um milhão. Esses exemplos apontam para um motivo pelo qual os números devem continuar infinitamente. Se tivéssemos um máximo, alguma nova utilidade ou descoberta certamente nos faria ultrapassá-lo.
Mas em certas circunstâncias, às vezes os números têm um máximo porque as pessoas os projetam dessa forma para um propósito prático.
Um bom exemplo é um relógio – ou aritmética do relógio, onde usamos apenas os números de 1 a 12. Não há 13 horas, porque depois das 12 horas simplesmente voltamos para a 1 hora novamente. Se você jogasse o jogo “número maior” com um amigo na aritmética do relógio, perderia se ele escolhesse o número 12.
Como os números são uma invenção humana, como os construímos para continuar sem fim? Os matemáticos começaram a investigar essa questão a partir do início dos anos 1900. O que eles desenvolveram baseou-se em duas suposições: que 0 é o número inicial e que, ao adicionar 1 a qualquer número, você sempre obtém um novo número.
Essas suposições imediatamente nos dão a lista de números de contagem: 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3 e assim por diante, uma progressão que continua infinitamente.
Você pode se perguntar por que essas duas regras são suposições. A razão para a primeira é que realmente não sabemos como definir o número 0. Por exemplo: “0” é o mesmo que “nada”, e se sim, o que exatamente é “nada”?
A segunda pode parecer ainda mais estranha. Afinal, podemos facilmente mostrar que adicionar 1 a 2 nos dá o novo número 3, assim como adicionar 1 a 2002 nos dá o novo número 2003.
Mas note que estamos dizendo que isso tem que valer para qualquer número. Não podemos verificar isso para cada caso individual, já que haverá um número infinito de casos. Como humanos que podem realizar apenas um número limitado de etapas, temos que ser cuidadosos sempre que fazemos afirmações sobre um processo infinito. E os matemáticos, em particular, se recusam a aceitar qualquer coisa como garantida.
Aqui está, então, a resposta para o motivo pelo qual os números não têm fim: é por causa da maneira como os definimos.
Como os números negativos -1, -2, -3 e mais se encaixam em tudo isso? Historicamente, as pessoas desconfiavam muito desses números, já que é difícil imaginar uma maçã ou uma laranja com “menos um”. Até 1796, os livros didáticos de matemática alertavam contra o uso de números negativos.
Os negativos foram criados para resolver um problema de cálculo. Os números positivos são bons quando você os está somando. Mas quando você chega à subtração, eles não conseguem lidar com diferenças como 1 menos 2, ou 2 menos 4. Se você quiser ser capaz de subtrair números à vontade, também precisa de números negativos.
Uma maneira simples de criar negativos é imaginar todos os números – 0, 1, 2, 3 e os demais – desenhados igualmente espaçados em uma linha reta. Agora, imagine um espelho colocado em 0. Em seguida, defina -1 como o reflexo do +1 na linha, -2 como o reflexo do +2, e assim por diante. Você acabará com todos os números negativos dessa maneira.
Como bônus, você também saberá que, como existem tantos negativos quanto positivos, os números negativos também devem continuar infinitamente!
